Deterministisches Chaos
1. Deterministisches Chaos - allgemeine Vorbemerkungen
2. Das Magnetpendel
3. Das Drehpendel
4. Chaotische Phänomene am Beispiel des Drehpedels
1.1 Einführung
In den Medien, in populärwissenschaftlichen Veröffentlichungen und auf
Ausstellungen ist immer öfter von "Chaos" die Rede. Insbesondere
beschäftigen sich jedoch die unterschiedlichsten Wissenschaftsbereiche wie
beispielsweise Kunst, Wirtschaft, Mathematik und Physik damit. Wichtige
Mitbegründer der mathematisch- physikalischen Forschungsrichtung waren
Benoît Mandelbrot und Henri Poincaré, die den Begriff "deterministisches
Chaos" entscheidend mitprägten, mit dem sich diese Facharbeit befasst.
1.2 Was ist deterministisches Chaos?
Der Begriff "deterministisch" (lat.: bestimmbar, berechenbar) bedeutet, dass
das beschriebene System durch lösbare Gleichungen beschreibbar ist. Daraus
folgt jedoch nicht, dass es eine Funktion geben muss, die die Phase eines
Systems zur Zeit in Beziehung setzt. Der Begriff "Chaos" heißt, dass das
Zeitverhalten des Systems irregulär ist. Es darf also nicht periodisch
sein, d.h. es darf sich nicht wiederholen.
Deterministische chaotische Prozesse sind demnach solche, "deren zeitliche
Entwicklung einerseits deterministischen Differenzen- bzw.
Differentialgleichungen folgt, die sich aber auf der anderen Seite durch
irreguläres, scheinbar zufälliges (chaotisches) Zeitverhalten auszeichnet.
Das bedeutet, dass sowohl reguläre Prozesse (stationäre, periodische,
mehrfachperiodische Prozesse) als auch rein stochastische Prozesse nicht
unter deterministisches Chaos fallen. Reguläre Prozesse erfüllen nicht die
Bedingung des irregulären Zeitverhaltens; stochastische Prozesse sind nicht
durch deterministische Gleichungssysteme beschreibbar, sondern nur durch
Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Deterministisches Chaos deckt den gesamten
Bereich zwischen diesen beiden Grenzfällen ab." Es ist wichtig, nochmals
auf den Unterschied zwischen stochastischen Prozessen (Systemen also, die
auf reinem Zufall basieren) und deterministischem Chaos hinzuweisen, da
diese Begriffe (u.a. auch in älterer Literatur) häufig nicht präzise
unterschieden werden.
"Es scheint paradox, dass Chaos deterministisch ist, erzeugt nach festen
Regeln ohne stochastische Elemente. Prinzipiell ist die Zukunft durch die
Vergangenheit vollständig bestimmt, aber praktisch werden kleine Fehler
verstärkt - das Verhalten ist deshalb zwar kurzfristig vorhersagbar,
langfristig aber unvorhersagbar."
Das folgende Beispiel verdeutlicht diese Fehlerverstärkung: "Bei einem
idealisierten Billardspiel sollen die Kugeln ohne Energieverlust über den
Tisch rollen und zusammenstoßen. Mit einem einzigen Stoß schickt der
Spieler die Kugeln in eine längere Folge von Kollisionen; er möchte die
Wirkung eines Stoßes abschätzen. Für welchen Zeitraum könnte ein Spieler
mit perfekter Kontrolle über den Stoß die Bahn des Spielballs vorhersagen?
Sofern er nur einen Effekt vernachlässigt, dessen Stärke der gravitiven
Anziehung eines Elektrons am Rande der Milchstraße entspricht, wäre die
Vorhersage bereits nach einer Minute falsch. Die Ungenauigkeiten wachsen so
schnell, weil die Kugeln rund sind und deshalb kleine Bahnabweichungen bei
jedem Zusammenstoß vergrößert werden. Das Anwachsen geschieht exponentiell:
(...) Bei jeder Kollision wird der Gesamtfehler multipliziert; auf diese
Weise erreicht jeder noch so kleine Effekt rasch makroskopische
Dimensionen. Das ist eine der fundamentalen Eigenschaften von Chaos."
Die zwei wesentlichen Phänomene von deterministisch chaotischen Systemen
sind also das exponentielle Anwachsen von Fehlern (bzw. Unschärfen) bei den
Messwerten und das irreguläre Verhalten, das sich durch deterministische
Gleichungen beschreiben lässt.
1.3 Prinzipielle "Unschärfen" bei den Messwerten
Laplace behauptete 1776, dass man den Zustand des Universums für künftige
Jahrhunderte genau bestimmen könne, sofern man den augenblicklichen Zustand
ebenso genau bestimmen könne. Doch 1903 wurde diese Behauptung von
Poincaré widerlegt, der feststellte, dass "ein kleiner Fehler zu Anfang
(...) später einen großen Fehler zur Folge haben [wird]. Vorhersagen werden
unmöglich und wir haben ein zufälliges Ereignis."
Könnte man aber den Zustand am Anfang völlig exakt bestimmen, und wäre es
möglich, mit diesen Messwerten zu rechnen, so hätte Laplace jedoch (bei
Vernachlässigung des unendlichen Aufwands) recht. Da man aber davon
ausgehen kann, dass die betrachteten Messwerte (Auslenkung, Geschwindigkeit,
Ort, etc.) kontinuierlich sind, müssten sie auf unendlich viele Stellen
genau angegeben werden, was eine digitale Verarbeitung dieser Daten
technisch unmöglich macht. Darüber hinaus würde auch die Heisenberg'sche
Unschärferelation eine völlig exakte Bestimmung aller Messwerte nicht
zulassen.
1.4 Chaotische Experimente
In dieser Facharbeit werden zwei chaotische Experimente theoretisch
behandelt: das Magnetpendel und das Drehpendel. Hierfür wurden
Computersimulationen in der Sprache "C" programmiert, deren Ergebnisse
ausgewertet und daraus generelle Erkenntnisse der Chaosforschung abgeleitet
werden. Dabei wird auch deutlich, dass selbst das Chaos an gewisse "Regeln"
gebunden ist, dass es Aspekte gibt, die in jedem chaotischen Experiment zu
finden sind und dass auch der ästhetische Aspekt der Chaosanalysen seinen
Reiz besitzt.
Um in dem vorgegebenen Rahmen ein möglichst breites Spektrum zu behandeln,
werden die gewonnen Erkenntnisse vereinfacht und nur in einem stark
beschränkten Umfang ausgeführt.
Die Programme sind sowohl als Programmquelltext als auch als ausführbare
Programme für einen IBM-PC kompatiblen Rechner auf Diskette beigelegt.
Manche Programme ("MAUSPEND" und "FEIGBAUM") benötigen eine Maus; ein 486er
oder ein besserer Rechner wird empfohlen. Die Programme laufen unter der
DOS-Kommandozeilenebene; benötigte Parameter werden mit dem Programmaufruf
übergeben, wodurch die Parametereinstellungen in so genannte "Batchfiles"
gespeichert werden können.
1 Im Folgenden auch kurz "Chaos" genannt
2 Die Phase eines Systems beschreibt seinen aktuellen Zustand eineindeutig.
Bei einem Teilchen, das frei von äußeren Einflüssen ist, wäre dies sein
Ort und Impuls. Wäre es angeregt, müsste noch der Zustand des anregenden
Systems beachtet werden.
3 Atmanspacher, Morfill, Seite 1f
4 Crutchfield, Farmer, Packard, Shaw, Seite 8
5 Crutchfield, Farmer, Packard, Shaw, Seite 11
6 Crutchfield, Farmer, Packard, Shaw, Seite 10
7 Der Impuls und der Ort eines Teilchens (und somit dessen Phase) sind
nicht beliebig genau bestimmbar
8 Weitere Einzelheiten, insbesondere zum Drehpendel, siehe
9 Die Programmquelletexte sind C-Sourcecodes (insbes. für BorlandC 3.1)
2. Das Magnetpendel
2.1 Versuchsaufbau
Drei mit verschiedenen Farben (rot, gelb und blau) gekennzeichnete, gleich
große und gleich starke Magneten werden so auf eine Ebene gestellt, dass sie
die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 20 cm bilden.
Über den Schwerpunkt dieses Dreiecks wird ein Pendel (ein Faden von etwa
1,5 m Länge, an dem eine mit Graphit bedampfte Styroporkugel mit einem
Durchmesser von etwa 3 cm befestigt ist) gehängt, so dass es die Magneten
knapp nicht mehr berührt. Die Kugel pendelt unter dem Einfluss der
Anziehungskraft der drei Magneten. (Abb. 2.1.1)
Die oben gegebenen Maße sind nur Beispiele und lassen sich beliebig ändern.
Die Magneten sollten jedoch immer stärker als die Schwerkraft sein, um das
Pendel aus dem Schwerpunkt des Dreiecks, dem natürlichen Ruhepunkt des
Pendels, herauszuziehen.
2.2 Versuchsdurchführung
Bewegt man das Pendel zu einem beliebigen Anfangspunkt und läßt ihm dann
freien Lauf, so bewegt es sich in chaotischen Schleifen und kommt
schließlich (wegen der Luftreibung) über einem der drei Magneten zum
Stillstand. (Abb. 2.2.1)
Aber über welchem? Neben den durch die Anordnung bestimmten Konstanten ist
die Startposition die einzige Größe, die auf das Ergebnis Einfluss nimmt.
Ein Magnet zieht das Pendel dann an sich, wenn es in seiner unmittelbaren
Umgebung gestartet wird. Andernfalls kann das Pendel jedoch auch über einem
Magneten stehen bleiben, der von der Startposition weit entfernt ist. Ist
letzteres der Fall, ist also nur eine Anfangsposition gegeben, die nicht im
direkten Einflussgebiet des Magneten liegt, so lassen sich über die Bahn,
die das Pendel beschreibt -und damit auch über dessen Endposition- keine
Vorhersagen treffen.
Um dieses Phänomen näher zu untersuchen, wird der Startpunkt (also die
Position des Pendels beim Loslassen) dem Endpunkt (der Magnet, an dem das
Pendel am Schluss "hängen bleibt") gegenübergestellt. Dies geschieht in Form
einer Karte, auf der der Startpunkt mit der Farbe des Magneten gefärbt
wird, über dem das Pendel letztendlich stehen bleibt. Ein Pendel, das über
einem roten Gebiet der Karte, dem Attraktionsgebiet des roten Magneten,
gestartet wird, bleibt demnach schließlich über dem roten Magneten stehen.
Zeichnet man mehrere Karten (mit den gleichen Magneten und
Naturkonstanten), so wird man feststellen, dass sie sich voneinander
unterscheiden, obwohl der durchgeführte Versuch jedes Mal der gleiche ist.
Eindeutige Gebiete wie die um die Magneten selbst werden sich nicht ändern,
da in diesem Fall das Pendel sofort am Magnet hängen bleibt, aber der "Rest"
wird sich voneinander unterscheiden. Dies liegt daran, dass man nie zweimal
genau denselben Startpunkt treffen kann. Auch wenn der Unterschied zwischen
den Anfangspunkten noch so gering ist, so vergrößert sich die Differenz
zwischen den Pendelbahnen im Verlauf des Experiments so stark, dass sie
nachher so groß ist wie die Messwerte selbst.
Die Auswertung ist jedoch mit den Mitteln des Experiments nur äußerst
mühsam zu erfassen. Hier hilft die Computersimulation.
2.5 Veränderung der Ausgangsbedingungen
Dieser Abschnitt beschäftigt sich deshalb mit den Auswirkungen der
Veränderung der Reibung. Verkleinert man beispielsweise die
Reibungskonstante µ, so verliert das Pendel erst später seine Energie; es
pendelt also länger. Dadurch wird der Unterschied der Bahnen von zwei
benachbarten Anfangspunkten immer größer. Dies wirkt sich besonders an den
Grenzen der Attraktionsgebiete aus: sie verzahnen sich stärker, und die
Unvorhersagbarkeit nimmt zu.
Während bei einem Wert von µ = 0,065 -ausserhalb der eindeutigen Bereiche
um die drei Magneten- die Grenzen zwischen den Attraktionsgebieten noch
relativ klar sind, herrscht bereits bei einem Wert von µ = 0,028 ein
chaotisches Punktewirrwarr, bei dem kaum mehr von "Grenzen" im eigentlichen
Sinn des Wortes gesprochen werden kann. Auf den zweiten Blick lassen sich
jedoch Strukturen erkennen.
2.6 Grenzverlauf der Attraktionsgebiete
Vergrößert man immer wieder Ausschnitte von Grenzverläufen, so wird man
feststellen, dass zwischen den Attraktionsgebieten zweier Magneten immer das
Attraktionsgebiet des dritten Magneten liegt. Wie kann das sein?
Befindet sich das Pendel in der Nähe der Grenze zweier Attraktionsgebiete,
ist die Anziehungskraft von dem näheren der konkurrierenden Magneten
größer. Der stärkere Magnet "gewinnt" und kann das Pendel an sich reißen.
Was passiert aber unmittelbar an der Grenze? Hier heben sich die Kräfte der
beiden Magneten nahezu auf, so dass die resultierende Kraft nicht mehr zu
einem der beiden Magneten zeigt, sondern senkrecht auf der Geraden durch
die beiden Magneten steht. Hier "freut" sich der dritte Magnet, nutzt seine
Chance und zieht das Pendel an sich. Jetzt gibt es aber wieder zwei Gebiete
verschiedener Magneten, die aneinander stoßen. Das ganze Spiel wiederholt
sich; zwar nicht an der selben Stelle der Pendellaufbahn, sondern am
nächsten "Entscheidungspunkt".
2.7 Verletzung der starken Kausalität
Versucht man, das Pendel mehrmals am gleichen Anfangspunkt zu starten, so
könnte vermutet werden, dass das Pendel immer eine ähnliche Bahn beschreiben
und schließlich beim selben Magneten hängen bleiben wird. Diese Vermutung
beruht auf dem Axiom der starken Kausalität, das James C. Maxwell 1879
folgendermaßen beschrieb: "Es ist eine metaphysische Doktrin, dass gleiche
Ursachen gleiche Wirkungen nach sich zögen. Niemand kann sie bestreiten.
Ihr Nutzen aber ist gering in einer Welt wie dieser, in der gleiche
Ursachen niemals wieder eintreten und nichts zum zweiten Mal geschieht. Das
daran anlehnende physikalische Axiom [der starken Kausalität] lautet:
Ähnliche Ursachen haben ähnliche Wirkungen. Dabei sind wir von der
Gleichheit übergegangen zu Ähnlichkeit, von absoluter Genauigkeit zu mehr
oder weniger grober Annäherung"
Bei chaotischen Systemen sieht die Wirklichkeit anders aus: Ähnliche
Anfangspunkte in einem "strittigen" Gebiet (also in einem Gebiet, in dem
die Grenzen der Attraktionsgebiete der einzelnen Magneten stark verzahnt
und flächenmäßig recht klein sind) führen zu vollkommen verschiedenen
Laufbahnen des Pendels. Die anfangs zwar annähernd gleichen Anfangspunkte
entfernen sich exponentiell voneinander und enden meist bei verschiedenen
Magneten. Dies ist der so genannte "Schmetterlingseffekt" oder, anders
gesagt, die Verletzung der starken Kausalität: In chaotischen Systemen
können ähnliche Ursachen völlig verschiedene Wirkungen haben; kleine (auf
den ersten Blick unbedeutende) Veränderungen können sich mit der Zeit
derart verstärken, dass sie nachher so groß wie die Messwerte selbst sind.
Das Programm "MAUSPEND" demonstriert dieses Verhalten.
1 Das Attraktionsgebiet eines Magneten i ist (in diesem Fall) die Menge
aller Anfangspunkte, deren (durch die Pendellaufbahn zugeordnete)
Endpunkte über dem Magneten i liegen.
2 Worg, Seite 32
3. Das Drehpendel
3.1 Versuchsaufbau
Ein Rad ist mit seinem Mittelpunkt an einer Stange befestigt, die frei
drehbar gelagert ist. An der Stange ist außerdem eine Spiralfeder
angebracht, die das Rad im unangeregten Zustand in eine Ruheposition
bringt. Nun wird die Feder durch einen Oszillator angeregt, was mit der
Anregung des Rades durch den Oszillator gleichzusetzen ist. Die Drehung
wird durch einen Wirbelstromkreis, dessen Stärke frei einstellbar ist,
gedämpft. Dies soll u.a. eine so genannte Resonanzkatastrophe vermeiden, die
durch die ständige Energiezufuhr durch den Oszillator entstehen könnte.
Nach einiger Zeit stellt sich die Drehfrequenz des Rades auf die
Oszillatorfrequenz ein. In dieser Form dreht sich das Rad in einer
vollkommen linearen Weise - wie ein Pendel, das keiner äußeren Einwirkung
unterliegt.
Bringt man nun eine kleine Unwucht so am Rad an, dass sie bei einer
Auslenkung der Feder um 0° nach oben zeigt, so ändert sich das Verhalten
des Pendels: es wird chaotisch.
3.2 Versuchsdurchführung
Der oben beschriebene Versuch wurde an einem Drehpendel der
Ludwig-Maximilians- Universität durchgeführt. Dabei wurde deutlich, dass die
Anregungsfrequenz in der Nähe bzw. etwas unter der Eigenschwingfrequenz des
Pendels liegen muss, damit es zu einer Resonanz und damit zu einem
chaotischen Verhalten des Pendels kommt.
Die aktuelle Auslenkung und die Geschwindigkeit des Pendels wurden während
des Versuchs gemessen und zur Auswertung an einen Computer weitergeleitet,
der u.a. ein Auslenkungs/Zeit (j/t) - und ein
Winkelgeschwindigkeit/Auslenkungs (w/j) - Diagramm ausdrucken konnte (siehe
Abbildung 3.2.1, die direkt aus dem Drehpendelversuch stammt. Die Masse der
Unwucht betrug dabei 100g). [Tut mir leid wegen der komischen Buchstaben;
das j sollte eigentlich ein phi sein und das w ein omega].
Vergleicht man diese Abbildung mit denen aus der Simulation (vgl. 4.1), so
kann man eine Ähnlichkeit feststellen. In 4.1 wird auch die Bifurkation
(Aufspaltung einer Schwingung) näher erklärt.
4. Chaotische Phänomene am Beispiel des Drehpedels
4.1 Bifurkationszenario
Bei einem relativ hohen M0 Brems (=0,105) tritt eine periodische Schwingung
auf (Abb. 4.1.1). Bei einer Verkleinerung der Dämpfung ist eine höhere
Schwingungsamplitude zu erwarten, da die Wirbelstrombremse weniger Energie
abführt. Weil sich aber auch die Geschwindigkeit (und damit auch die
Bremswirkung) des Pendels erhöht, wird die Amplitude nicht laufend höher,
sondern pendelt sich bei einer gewissen (etwas größeren) Amplitude ein.
Senkt man die Dämpfung (auf M0 Brems = 0,0994), so spaltet sich die
Grundschwingung in zwei Schwingungen mit verschiedenen Amplituden auf, die
sich nach jedem Schwingungsdurchgang abwechseln (Abb. 4.1.2). Dieses
Verhalten nennt man Bifurkation, das sich wie folgt erklären lässt: "Die
Eigenfrequenz des Pendels ist abhängig von der Amplitude (...). Da die
Anregungsperiode [des Oszillators] konstant bleibt, liegt bei größerer
Amplitude keine Resonanz vor und die Amplitude wird kleiner. Bei der
kleineren Amplitude stimmen Eigenschwingperiode und Anregung wieder
zusammen, es herrscht wieder Resonanz. Die Amplitude wächst und der Zyklus
beginnt wieder von vorne."
Verringert man die Dämpfung noch weiter (auf 0,093), so spaltet sich die
Schwingung wiederum auf. Die beiden Teilschwingungen sind jetzt jeweils
zwei Perioden lang. (2. Bifurkation, Abb. 4.1.3). Bei nochmaliger
Verkleinerung von M0 Brems (auf 0,0925) teilt sich die Schwingung abermals
in zwei Teilschwingungen mit jeweils vier verschiedenen Perioden auf. (3.
Bifurkation, Abb. 4.1.4). Diese Schwingung wiederholt sich also erst nach
dem achtfachen der ursprünglichen Periodenlänge. Ab hier sind die Abstände
zwischen den Bifurkationen so klein, dass sie kaum mehr "getroffen" werden
können.
Bei einem Wert von M0 Brems = 0,092 ist das Verhalten chaotisch. (Abb.
4.1.5) "Es stellt sich auch nach langer Einschwingzeit kein periodischer
Vorgang ein, das System schwingt unregelmäßig (...). Der Vorgang ist
natürlich immer noch deterministisch (...), aber nicht mehr stark kausal.
Kleinste Störungen wirken sich stark auf das Verhalten aus, eine
Langzeitvorhersage ist nicht mehr möglich (...)."
Bei einer noch kleineren Dämpfung (M0 Brems = 0,06) tritt plötzlich wieder
Ordnung auf - es stellt sich eine stabile Schwingung ein (Abb. 4.1.6).
Diese nennt man ein "Fenster im Chaos".
Verkleinert man M0 Brems weiter, werden die Schwingungen wieder chaotisch
(Abb. 4.1.7).
Betrachtet man eine Reihe von chaotischen Schwingungen in einer Folge,
können mehrere ähnliche Schwingungen hintereinander erkannt werden, die
schließlich "aufbrechen" und sich zu einer neuen Schwingung formieren (Abb.
4.1.8). Es handelt sich hierbei um das Phänomen der Unterbrechung
[intermittency]. Hier bleibt ein physikalisches System einige Zeit
statisch, bis es plötzlich für einige Zeit einen chaotischen Ausbruch zeigt
und dann wieder statisch ist; danach kommt wieder ein chaotischer Ausbruch
und so weiter.
4.2 Poincaré-Schnitt
Die Schwingung des chaotischen Drehpendels hat (neben den Konstanten) genau
drei Variablen, die den aktuellen Zustand des Pendels eindeutig
beschreiben. Diese Variablen sind die Auslenkung des Pendels j, dessen
Geschwindigkeit w und der Zustand des Oszillators, dem t modulo T
entspricht, da die Anregung des Oszillators periodisch ist (d.h. sich alle
T Zeiteinheiten wiederholt). Sind alle Variablen exakt gegeben (in der
Realität aber niemals möglich), so kann die weitere Laufbahn des Pendels
berechnet werden.
Die drei Variablen geben einen Raum, den so genannten Phasenraum. In ihn
kann die gesamte Bahn des Pendels eingezeichnet werden, indem für jede
Phase des Pendels (bestimmt durch t modulo T, j und w) ein Punkt
eingezeichnet wird. Der Raum wird des weiteren so gekrümmt, dass die Ebenen
für t = nT (n element N0+) übereinander liegen. Die Linien können sich nicht
schneiden, da es sonst zu einem Punkt zwei Möglichkeiten geben würde, wie
es vom Schnittpunkt aus weitergehen könnte, was aber unmöglich ist, da ein
Punkt den Zustand des Pendels eineindeutig festlegen muss.
Die Bahn kann jedoch geschlossen sein. Das bedeutet dann, dass die
Schwingung des Pendels periodisch ist (sich wiederholt). In diesem Fall
handelt es sich um einen Bifurkationszustand und nicht um "echtes" Chaos.
"Ein charakteristisches Merkmal im Fall einer chaotischen Bewegung ist, dass
Kurven, die durch zwei benachbarte Punkte im Phasenraum gehen, nicht
beieinander bleiben, sondern sich exponentiell voneinander entfernen."
Da ein dreidimensionaler Raum schwer darzustellen und zu überblicken ist,
reduziert man die Daten durch den Poincaré-Schnitt. Es wird hierbei eine
günstig gelegte Ebene durch den Phasenraum gelegt und dann nur die
Stoßpunkte durch die Ebene anstatt der gesamten Laufbahn des Pendels
registriert. Eine günstige Schnittebene wird beispielsweise durch die
Festlegung des Oszillators auf t modulo T = 0 erreicht.
Eine kontinuierliche Bahn wird also durch den Poincaré-Schnitt auf eine
Folge von Punkten reduziert, die man ihren Orbit nennt . Eine periodische
Bahn hat eine begrenzte Anzahl von Schnittpunkten, die gleich der Zahl der
Schwingungen des Pendels ist. Eine quasiperiodische Bahn (sie kommt nicht
zum Ausgangspunkt zurück, sondern ist geringfügig versetzt), eine Bahn
also, bei der sich alle Schwingungen ähneln, aber nicht gleich sind,
"produziert im Poincaré-Schnitt [eine] gepunktete Linie, die das Zentrum
des Bildes umschließt. (...) Während periodische Bahnen im Poincaré-Schnitt
als ein Muster aus isoliert liegenden Punkten erscheinen, bilden
quasiperiodische Orbits Linienstrukturen. Chaotische Orbits hingegen füllen
ganze Bereiche der Schnittebene aus (...). Bilder von der Art (...) zeigen
auf einen Blick, wo ein System sich einfach, das heißt langfristig
prognostizierbar, und wo es sich chaotisch, das heißt auf lange Sicht
unvorhersagbar, verhält."
4.3 Attraktoren
Wird die Bahn eines Systems nach einer gewissen Einschwingzeit in den
Phasenraum eingezeichnet, so nennt man das entstandene Gebilde einen
Attraktor. Wird das System mit verschiedenen Anfangswerten gestartet (z.B.
mit unterschiedlichen Anfangsauslenkungen j, aber bei gleich bleibenden
Konstanten wie etwa der Dämpfung), so nähert sich die Phasenbahn dem
Attraktor asymptotisch an. Es gibt verschiedene Arten von Attraktoren:
der Fixpunkt. Dieser tritt bei einem gedämpften System ohne Anregung auf.
Das System bewegt sich auf diesen Punkt zu, bei dem die Geschwindigkeit
null und der Ort ein Ruhepunkt ist. Beim Drehpendel wären in diesem Punkt j
= jRuhe und w = 0. Das Magnetpendel hat dagegen drei Fixpunkte: über den
drei Magneten.
der Grenzzyklus. Das System bewegt sich unabhängig vom Anfangspunkt mit der
Zeit asymptotisch zu einer geschlossenen Kurve im Phasenraum hin . Das
System kommt auch langfristig nicht zur Ruhe, sondern erreicht (nach einer
gewissen Einschwingzeit) immer den gleichen Zyklus: den Grenzzyklus.
der seltsame Attraktor. Er ist eine dreidimensionale Bahn im Phasenraum,
die nicht geschlossen ist. Aber auch an diesen komplizierten Attraktor
nähern sich die Bahnen von verschiedenen Anfangswerten an. Bei einem
Poincaré-Schnitt durch den seltsamen Attraktor bemerkt man, dass auch hier
eine Art Ordnung herrscht.
4.4 Feigenbaumdiagramm
Die Punkte des Poincaré-Schnitts eines Systems sind ausreichend, um seinen
Bifurkationsgrad und seine Komplexität bzw. Art (Bifurkation oder Chaos) zu
bestimmen. Ein System mit einer periodischen Schwingung hat genau einen
Schnittpunkt; nach der ersten Bifurkation genau zwei verschiedene
Schnittpunkte, nach der zweiten Bifurkation sind es vier. Dies liegt daran,
dass sich eine Schwingung mit n verschiedenen Schnittpunkten bei einer
Bifurkation in zwei verschiedene Schwingungen mit je n Schnittpunkten
aufteilt. Bei jedem Schritt verdoppelt sich also die Zahl der
Schnittpunkte. Das heißt, dass ihre Anzahl gleich 2^Grad der Bifurkation
[das "^" heißt "hoch" und ist fü die Browser, die das nicht anders
darstellen können] ist, oder umgeformt: Grad = log2 Anzahl. Die Anzahl der
Schnittpunkte gibt somit die Komplexität einer Schwingung an. Um dieses
Phänomen näher zu untersuchen und um die Grenzen zwischen den einzelnen
Bifurkationen näher kennen zu lernen, stellt man die Pendelauslenkung j in
den Schnittpunkten der Dämpfung M0 Brems gegenüber (Abb 4.3.1).
An der Abszisse der Abbildung 4.3.1 ist die Dämpfung (M0 Brems) angetragen.
Links beginnt sie bei 0 und endet rechts bei 0,125. An der Ordinate ist die
Auslenkung j der einzelnen Poincaré-Schnittpunkte angetragen (oben ist +pi,
unten -pi), die erst nach einer gewissen Einschwingzeit des Pendels
eingezeichnet wurden, da das Pendel eine bestimmte Zeit braucht, bis es
sich in der für die Dämpfung typischen Schwingung befindet.
In der Vergrößerung lassen sich die Bifurkationsgrenzen ablesen (die erste
Bifurkation wurde nicht berücksichtigt, da der Wert der Dämpfung nur sehr
ungenau abzulesen ist):
Bifurkationsgrad = i 2 3 4 5 6
----------------------------------------------------------------------------
Dämpfung M0 Brems = ci 0,09447 0,09277 0,09240 0,09232 0,09230
Dämpfungsunterschied
= ci-1 - ci 0,00170 0,00037 0,00008 0,00002
Quotient d. Dämpfungsuntersch. 4,6 4,6 4
Es fällt auf, dass der Quotient der Dämpfungsunterschiede (deltai = (ci-1 -
ci) : (ci - ci+1) ) konstant ist. Die Abweichung des letzten Wertes
(delta5) ist auf die begrenzte Genauigkeit der Messwerte zurückzuführen. Die
Bifurkationsgrenzen lassen sich also folgendermaßen berechnen: ci =
cunendl. + k · delta-i, wobei in diesem Fall cunendl. ungefähr 0,0922976
und k ungefähr 0,0459662 ist.
Das chaotische Punktewirrwarr ist also keine Schwingung mit relativ hohem
Bifurkationsgrad (wie man vielleicht annehmen könnte), da Schwingungen mit
endlichem Bifurkationsgrad nur bei einer Dämpfung auftreten, die größer als
cunendl. ist.
4.5 Logistische Funktion
Das Rotationspendel ist ein sich kontinuierlich entwickelndes bzw. in der
Simulation ein sich annähernd kontinuierlich entwickelndes physikalisches
System. Das heißt, dass sich die beobachtete Variable (=
Darstellungsvariable, im behandelten Fall die momentane Auslenkung j)
kontinuierlich ändert, d.h. größer und kleiner wird. Zur Analyse des
Systems wird eine Datenreduktion vorgenommen: Es werden nur noch die
Tiefpunkte der Auslenkung registriert, der Rest der Pendellaufbahn wird
nicht beachtet.
Diese Datenreduktion (= Diskretierung) wird nun auch für die Erzeugung der
Daten verwendet. Das System des Rotationspendels kann somit nicht mehr
angewandt werden, sondern es wird ein System benötigt, das bei jedem
Iterationsschritt verwendbare, d.h. sinnvolle Daten liefert: die
logistische Funktion. Sie ist eine einfache mathematische Abbildung und hat
auf den ersten Blick nichts mit den bereits behandelten Pendelschwingungen
zu tun.
(4.5.1) Xneu = c · Xalt · (1 - Xalt)
X ist hierbei die Darstellungsvariable, c der Kontrollparameter. Diese
iterative Abbildung liefert zu jedem Wert einen neuen, von c abhängenden
Wert. Dieser kann dann erneut als "alter" Wert in die Gleichung eingesetzt
werden.
"Die logistische Abbildung wird im Einheitsintervall x element [0;1]
betrachtet. In diesem Einheitsintervall besitzt sie die Nullstellen xz1 = 1
und xz2 = 0. Ihr Maximum erhält man aus der Differentiation von (4.5.1) zu
xmax = 0,5. Der dazugehörige Funktionswert ist f(xmax) = [c] : 4. Wegen der
Bedingung x element [0;1] ist also [c] element [0;4]."
Zahlenreihen, die durch die logistische Iterationsfunktion gewonnen wurden
(wobei der Anfangswert gleichgültig ist, sofern er ungleich 0 und ungleich
1 ist, da sonst Xneu ebenfalls Null ist), können in drei grundsätzlich
verschiedene Arten untergliedert werden:
Konvergenz gegen einen bestimmten Wert; für c < 1 ist dieser Wert Null
(Abb. 4.4.1)
Wiederholung (nach einer gewissen "Einschwingzeit") (Abb. 4.4.2 bis 4.4.5)
Keine Regelmäßigkeit (Abb. 4.4.6)
Betrachtet man die periodischen Schwingungen (Abb. 4.4.2 bis 4.4.4)
genauer, so erinnern sie stark an ein Bifurkationsszenario, wie es in 4.1
besprochen wurde (eine Schwingung spaltet sich bei jeder Bifurkation in
zwei Unterschwingungen auf).
Die Abbildungen 4.4.7 bis 4.4.10 zeigen verschiedene Ausschnitte und
Vergrößerungen aus dem Feigenbaumdiagramm der logistischen Funktion. Der
Kontrollparameter c wurde an der Abszisse angetragen (von 2,5 bis 4) und
von links nach rechts schrittweise erhöht. Die jeweils vorkommenden
Funktionswerte X wurden (nach einer gewissen "Einschwingzeit" von 100
Iterationen) auf der Ordinate angetragen.
Untersucht man bei der logistischen Funktion (genauso wie beim Drehpendel)
die Verhältnisse zwischen den Aufspaltungspunkten, so stößt man auf ein
interessantes Ergebnis:
Bifurkationsgrad = i |1 2 3 4 5 6
---------------------+---------------------------------------------------
Kontrollparameter ci |3,00088 3,44816 3,54385 3,56434 3,56873 3,56967
|
Parameterdifferenz |
ci - ci-1 | 0,44728 0,09569 0,02049 0,00439 0,00094
Quotient d. | 4,67 4,67 4,67 4,67
Parameterdifferenz |
Auch hier ist der Quotient der Kontrollparameterdifferenzen delta konstant.
Ein genauerer Wert lautet : delta = 4,6692. Die Bifurkationsgrenzen lassen
sich ebenso wie beim Drehpendel berechnen:
(4.5.2) ci = cunendl. + k · delta-i ist ungefähr 3,56992 - 2,65699 ·
4,6692-i
delta wird auch Feigenbaumkonstante genannt. Sie wird als universell
bezeichnet, da sie nicht nur für die Gleichung (4.5.1) gilt, sondern auch
für alle Gleichungen, die ein quadratisches Maximum haben. Hier einige
Beispiele :
Das Phänomen des Feigenbaumdiagramms und der Feigenbaumkonstante d tritt
übrigens bei allen oder zumindest bei den meisten deterministisch
chaotischen Systemen auf. Deterministisches Chaos ist also nicht etwas rein
Chaotisches und vollkommen Unvorhersagbares, sondern verhält sich in
gewissen Punkten gewissermaßen geregelt. Die Regeln sind zwar nicht der
Art, wie man sie aus der klassischen Physik kennt, lassen es aber trotzdem
zu, gewisse Aussagen über ein System zu treffen und gewisse Parallelen zu
anderen Systemen zu ziehen.
1 Worg, Seite 49
2 Worg, Seite 49
3 Lundquist, March, Tosi, Seite 20f
4 t modulo T := Rest von der Teilung von t durch T, d.h.: t-[t/T]
5 vgl. Worg, Seite 17
6 vgl. Breuer, Seite 33
7 Breuer, Seite 33
8 vgl. Lundquist, March, Tosi, Seite 21
9 vgl. Worg, Seite 63
10 Atmanspacher, Morfill, Seite 25
11 aus Worg, Seite 66
12 aus Worg, Seite 67